기숙사생이 여름철 햇빛을 피해 축구부 급식소에 가는 가장 시원한 경로

I. 탐구 주제

축구부 급식소로 가는 경로를 햇빛에 의한 피로도 측면에서 미분을 통해 최적화한다.

II. 탐구 목적

여름방학 기간 동안 기숙사생들은 축구부 급식소에서 조식, 중식, 석식을 먹는다. 학기 중에 식사를 하는 학교 급식소와 달리 축구부 급식소는 학교 건물과 분리되어 있어서 식사를 할 때 더 먼 거리를 이동해야 한다. 특히 운동장을 가로질러 갈 때 무더운 날씨와 직사광선으로 더 많은 피로를 느끼게 된다. 스탠드의 그늘을 거쳐 가는 경로를 택하면 직사광선을 조금이나마 피할 수 있지만, 직선 경로가 아니므로 더 많은 거리를 걸어야 한다는 단점이 있다. 본 탐구에서는 미분을 이용해 이동거리와 직사광선을 고려한 피로도 함수의 값을 최소로 만드는 경로를 구하고자 한다.

III. 탐구 방법

1. 피로도 함수 구하기

축구부 급식소와 스탠드를 좌표평면에 옮기고 경로 중 지나는 점 P의 좌표를 매개변수로 하여 계수와 이동거리의 곱으로 피로도를 표현한 함수의 식을 세운다. 이때 P의 좌표에 관계없이 일정하게 지나는 경로는 계산하지 않는다. 미분을 통해 피로도 함수가 최소가 되는 P의 좌표를 구한다.

2. 축구부 급식소와 스탠드의 좌표 구하기

축구부 급식소와 스탠드의 정확한 좌표를 카카오맵에서 제공하는 위성지도를 통해 구한다.

3. 직사광선에 의한 계수 구하기

직사광선에서 걸을 때와 그늘에서 걸을 때 신체 말단 부위에서의 체온 변화를 측정하여 이를 토대로 계수를 구한다.

IV. 탐구 내용

1. 피로도 함수 식 세우기

스탠드의 시작점을 A(0, 0), 끝점을 B(0, h)이라 하면 스탠드는 선분 AB로 표현할 수 있다. 또한 축구부 급식소는 P(w, h)로 표현할 수 있다. 스탠드에서 나와 운동장을 가로지르기 시작하는 좌표는 C(0, t)라 한다. 그늘에서 걸을 때 피로도에 대한 직사광선을 맞으며 걸을 때의 상대적 피로도를 k라고 한다.

피로도 함수 f(t)는 다음과 같이 정의된다.

최소가 되는 t의 값을 구하기 위해 f(t)를 미분한다.

라고 할 때

이다. 따라서 f(t)의 미분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

g(t)는 u(v)=v,v(t)=t²−2ht+h²+w²로 놓고 연쇄법칙을 이용해 미분할 수 있다.

f(t)의 미분을 정리하면 다음과 같다.

f(t)의 극점을 구하면 다음과 같다.

t<t₀일 때 f′(t)<0이고 t₀<t≤h일 때 f′(t)>0이므로 t≤h에서 f(t)의 유일한 극값 f(t₀)은 극솟값이다. t₀가 0보다 작을 때와 클 때로 경우를 나누어 0≤t≤h에서 최소가 되는 t를 구한다.

i) t₀≤0
0≤t≤h에서 f(t)는 증가하므로 t=0에서 최솟값을 가진다.

ii) 0<t₀≤h
t=t₀일 때 유일한 극솟값이므로 t=t₀=h−wk²−1에서 최솟값을 가진다.

∴t=max(0,h−wk²−1)일 때 최소. (단, max(a,b)는 a와 b 중 작지 않은 값)

2. 축구부 급식소와 스탠드의 좌표 구하기

위 그림은 카카오맵의 ‘거리 재기’ 기능을 활용해 거리를 측정하여 캡처한 것이다.

여기에서 h=AB=84(m), w=BP=53(m)를 구할 수 있다.

3. 직사광선에 의한 계수 구하기

방정식에서 직사광선에 의한 피로도를 나타내는 상수 k의 값을 구하기 위한 실험을 설계했다. 본 연구에서는 햇볕에서 하는 활동이 더 피로한 이유가 외부 요인으로 체온이 상승했을 때 정상 체온을 유지하려는 과정에서 피로감을 느끼기 때문이라고 보았다. 이 가설에 따라 실험을 설계하였다.

1. 에어컨을 튼 교실에서 충분히 몸을 차갑게 한 뒤 운동장 스탠드로 가서 이마, 팔, 손 등의 온도를 적외선 온도계로 측정한다.
2. 운동장을 바라봤을 때 스탠드 오른쪽 끝부터 조회대까지 왕복하며 일정한 속도로 걷는다. 이때 스탠드 끝과 조회대 쪽에서 각각 두 번씩 각 부위의 온도를 측정한다.
3. 다시 에어컨을 튼 교실로 돌아가 다시 몸을 차갑게 한 뒤 운동장 스탠드로 가서 각 부위의 온도를 측정한다.
4. 2번 과정과 같은 거리를 햇볕이 드는 운동장에서 왕복하여 걸으면서 각 부위의 온도를 측정한다.

탐구기간 내에 실험을 수행하지는 못했지만 운동장에서의 체온 변화가 스탠드에서의 체온 변화보다 크게 나타날 것으로 예상한다. k 값은 다음 식에 따라 두 환경에서 체온 변화 사이의 비로 나타낸다.

이렇게 구한 k의 값을 위에서 구한 식에 대입하여 t를 구할 수 있다.

실제 k 값을 구하면 사람에 따라, 그 날의 체온과 습도, 날씨에 따라 변할 것으로 예상한다.

다음은 여러 k 값에 따라 나올 수 있는 경로의 예이다.

V. 결론 및 제안

본 탐구에서는 땡볕에서 걸을 때 더 피로할 것이라는 것을 전제로 하여 축구부 급식소에 가는 경로에 따른 피로도 함수의 식을 세우고, 미분을 통해 피로도 함숫값을 최소로 만드는 경로를 구하는 공식을 만들었다. 여기에서는 땡볕과 그늘에서의 피로도 차이를 정량적으로 구하지 못했지만, 그 값을 구하여 공식에 대입하면 최적의 경로를 구할 수 있을 것이다.

이러한 방식의 최적 경로 찾기는 다른 변수들을 도입할 수도 있을 것이다. 예를 들면, 기숙사생들은 조식을 먹으러 갈 때 주로 가방을 문에 가까운 그늘에 두고 급식소에 가 밥을 먹은 뒤 다시 돌아와 가방을 챙겨 건물에 들어간다. 가방을 두는 위치를 고려하여 최적 경로를 탐색하는 것도 흥미로운 문제가 될 것이다.

거꾸로 학생들이 주로 사용하는 경로로부터 k 값을 구하는 것도 가능할 것이다. 인간의 뇌 신경망은 수억 년을 진화하고 수십 년을 살며 학습된 것이 그대로 담겨 있다. 사람이 직감적으로 고른 경로는 사실 사람의 뇌에 들어있는 1000억 개의 뉴런이 계산해낸 결과이다. 내가 제안하고자 하는 것은 뇌가 연산한 결과로부터 k 값을 역연산하는 것이다. 이 k 값은 땡볕이 힘든 정도를 나타내는 척도로써 다른 최적 경로나 불쾌지수, 그 외에도 인간에 대한 햇빛의 영향이 중요한 문제에서 활용될 수 있을 것이다.

VI. 참고자료

카카오맵